每日题解:LeetCode 974. 和可被 K 整除的子数组

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清水雅然君 05月 27,2020

974. 和可被 K 整除的子数组

题目描述

给定一个整数数组 A,返回其中元素之和可被 K 整除的(连续、非空)子数组的数目。

示例:

输入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
输出:7
解释:
有 7 个子数组满足其元素之和可被 K = 5 整除:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
 

提示:

1 <= A.length <= 30000
-10000 <= A[i] <= 10000
2 <= K <= 10000

来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k
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解法

JAVA

class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {
   Map<Integer, Integer> record = new HashMap<>();
        //考虑全部得前缀和会整除K;
        record.put(0, 1);
        int sum = 0;
        int res = 0;
        for (int i : A) {
            sum+=i;
            int module=(sum % K + K) % K;
            int same = record.getOrDefault(module,0);
            res+=  same;
            record.put(module,same+1);
        }
         return  res;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& A, int K) {
   unordered_map<int, int> record = {{0, 1}};
        int sum = 0, res = 0;
        for (int elem: A) {
            sum += elem;
            int modulus = (sum % K + K) % K;
            if (record.count(modulus)) {
                res += record[modulus];
            }
            record[modulus]++;
        }
        return res;
    }
};

解题思路

前缀和

对!今天的题解有两个,因为我开始学习C++了。从今天开始,我会尝试使用两个语言写题解!!
解题之前,我们先了解两个知识点

前缀和

用sum[i]表示S[1]+S[2]+...+S[i],则sum[0] = 0, sum[1] = S[1], sum[2] = S[1]+S[2]; sum[3]=S[1]+S[2]+S[3];
则S[0]+S[1]+S[2]+...+S[i] = sum[i]==》S[i]=sum[i]-sum[i-1]
sum[i]可以有之的元素推导出来,如同前缀一般,转换成公式为
在这里插入图片描述
常用于快速处理区间加减操作或者连续子数组问题

同余定理

数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

由以上两点可以得出
sum(i, j) =S[j]−S[i−1],如果sum(i, j)%k=0,满足被 K 整除,推导出 (S[j]−S[i−1])%m=0,即
S[i-1]%k=S[i-1]%k;所以我们只要统计S[i-1]%k=S[i-1]%k的存在的个数,就能直到答案了。

S[i-1]%k作为key存入map中,遇到相同的key则表明存在一个sum(i, j) 可以被K整除,讲map的value++.
同时我们也要考虑前缀和本身被 K 整除的情况。我们直接初始化map,record[0]=1。

我对于int modulus = (sum % K + K) % K;这里不太理解,这里的
可以记为

int temp = sum % K;
if (temp < 0) temp += K;

我们计算-3%5,在java中计算出的结果为-3,我们需要对这个-3进行处理转换为正数,以5为模,我们-3需要讲-3转换为正数表示,我们将使用-3理解为0-3,0+(5-3),同时将0去掉,则

-3=5-3=2

即负数可以用模减去这个负数的绝对值表示,调换位置 -3=-3+5
这里的转换可以参考下面这个思路
假如现在是6点,想知道3个小时前是几点,我们可以直接把时针逆时针旋转3个小时,也可以顺时针旋转9个小时,得到的时间是一样的。用数学语言我们可以这样表示:

6 - 3 = 6 +(12 - 3)

怎么计算值呢?6-3=6+9=15,15对12取模等于3
这样我们再可以根据同余定理
(-3%5)%5=(-3+5)%5,再用k代替5 (sum % K + K) % K